Александр Гейштор родился 17 июля 1916 года в Москве в семье банковского служащего Александра Гейштора, происходившего из польско-литовского дворянского рода.  После большевистской революции семья перебралась в Варшаву, где отец стал членом правления Малопольского банка. Воспитанием маленького Олеся – так называли Александра в детстве – занималась мать Барбара Гейштор (урожденная Попель). Мальчика с раннего возраста учили языкам – русскому и французскому – и игре на фортепиано. В восемь лет Олесь стал учеником гимназии Людвика Лоренца, в которой преподавали замечательные педагоги – учитель польского языка, будущий профессор социологии Станислав Оссовский, полонист Бронислав Вечёркевич, англист, историк литературы, поэт Станислав Хелштинский, историк Чеслав Павловский. Позднее Александр Гейштор был особенно благодарен учителю латыни Болеславу Гутману за то, что тот научил его переводить трудные латинские тексты. Некоторое время историю гимназистам преподавал Станислав Лоренц, будущий директор Национального музея в Варшаве. Александр был одним из авторов и редактором гимназического журнала «Голос молодежи». «В предпоследнем классе я прочитал найденную в хорошей варшавской библиотеке книгу, которая повлияла на мой выбор факультета. Это был «Род Авданцев в средние века» Владислава Семковича. […] «Род Авданцев» – итог богатой исследовательской эрудиции и смелого медиевистского воображения – я прочитал запоем и понял, что хочу стать историком и непременно буду заниматься средневековьем», – вспоминал Гейштор(Роберт Яроцкий. «Рассказ об Александре Гейшторе, 2001»).

В 1933 году Гейштор окончил гимназию и поступил на исторический факультет Варшавского университета, в то время носившего имя Юзефа Пилсудского. Его преподавателями стали доцент Тадеуш Мантейффель, проф. Станислав Кентшинский и проф. Марцелий Гандельсман, чей семинар, который посещало не более пяти студентов, Гейштор называл «privatissimum». Занятия в университете полностью его поглотили. С большим интересом он также слушал лекции проф. Зигмунта Батовского и доцента Михала Валицкого, преподававших на факультете истории искусства. Профессиональный дебют Гейштора состоялся в 1935 году на IV Съезде польских историков в Вильно. Под руководством проф. Гандельсмана в 1937 году он защитил магистерскую диссертацию «Современная оценка правления Карла Великого» и получил годовую стипендию для обучения в Практической школе высших исследований в Париже, которую окончил в 1939 году. В сентябре гитлеровские и советские войска вторглись на территорию Польши.

            Во время войны Гейштор совмещал преподавание в Тайном университете и службу в Армии Крайовой (с 1940 года в отделе информации и пропаганды главного командования). В конспирационных условиях под руководством проф. Кентшинского он подготовил и защитил кандидатскую диссертацию, посвященную генезису крестовых походов и Энциклике Папы Сергия IV. После подавления Варшавского восстания Гейштор был взят в плен и отправлен в лагерь Зандбостель, затем в Гросс-Борн, где вместе с историком Станиславом Плоским подготовил для коллег первую, написанную по горячим следам историю Варшавского восстания. В апреле 1945 году пленные были перемещены в окрестности Любека, где их освободили американские войска. Гейштор пешком вернулся в разрушенную Варшаву.

После войны он оказался в стране, которая ничем не напоминала довоенную Польшу. Поначалу Гейштор вновь занялся подпольной деятельностью, был даже арестован, но быстро вернулся к науке. Его ученик Кароль Модзелевский вспоминает: «Тадеуш Мантейффель, неоспоримый авторитет в среде историков, категорически запретил Александру Гейштору вступать в ряды антикоммунистической подпольной организации «Свобода и независимость» (хоть тот уже собирался): «Сейчас не время партизанщины – создаем университет» («Клячу истории загоним», 2013). В июле 1945 года Гейштор получил должность адъюнкта в Государственном институте истории искусства и инвентаризации культурных ценностей, а три месяца спустя стал преподавателем Варшавского университета, совмещая эту работу с другими должностями в научных учреждениях. Историческим институтом университета он руководил двадцать лет – с 1955 по 1975 год. Более пятнадцати лет являлся членом и руководителем Международного комитета исторических наук. «Не один польский ученый был благодарен ему за возможность войти в международное сообщество историков, благодаря чему расширились контакты с научным миром других стран, был организован обмен преподавателями и книгами», – пишет его ученица Мария Кочерская в монографии «Александр Гейштор. Человек и дело», 2016». Профессор поддерживал опальный Люблинский католический университет, общался в Кракове с кардиналом Каролем Войтылой и приезжал в Ватикан, когда тот стал Понтификом.  Оба свободно владели латынью и шутили, что все меньше епископов и историков способны вести беседу на этом языке.

Около четверти века Гейштор посвятил восстановлению Королевского замка в Варшаве, был его первым директором на протяжении двенадцати лет (1980 – 1991). Для него возрождение замка было символом возрождения Польского государства. «Книги прочитают или нет, а замок будет стоять», – говорил он. Немногие в Польше верили в то, что сожженный гитлеровцами замок возможно восстановить, а многие, в том числе и историки, выступали против этой идеи. Среди противников воссоздания королевской резиденции был проф. Ежи Шабловский, который впоследствии признал: «Я ошибался, не верил в гений этих троих великих людей, ни один из которых в [польской] столице не родился: Лоренц – в Радоме, Захватович – в Петербурге, Гейштор – в Москве. […] Осуществив все это, А. Гейштор оказался феноменальным как историк в широком смысле и как милостью Божьей искусствовед». Профессор заботился о восстановлении мельчайших деталей интерьеров замка, искал меценатов за рубежом. «Сознательно разрушенный во время Второй мировой войны как символ, замок был восстановлен, как символ, как своего рода метонимия или parsprototo национальной культуры», –написал Гейштор в книге об истории замка.  Профессор был библиофилом. Ценная библиотека его семьи погибла во время войны, но на протяжении всей жизни он собирал книги, и многие впоследствии передал в дар Королевскому замку.

Гейштор приложил немало усилий для погребения в варшавском Соборе Св. Яна перенесенного из Санкт-Петербурга праха последнего польского короля Станислава Августа Понятовского, принимал деятельное участие в подготовке торжественных мероприятий в связи с тысячелетием смерти Св. Войцеха (1997). Даже выйдя на пенсию он продолжал преподавать, вел магистерские и аспирантские семинары и пользовался искренним уважением и любовью студентов и коллег. Гейштор был удостоен звания почетного профессора университетов Франции, Великобритании, Польши, России, Венгрии.  Пултуская Академия гуманитарных наук, одним из основателей которой он являлся, с 2002 года носит его имя. Многие годы профессор был связан с Польской академией наук, с 1972 года как член-корреспондент, а позднее став на два срока ее президентом. Гейштор был удостоен государственных наград Польши, Франции, Австрии, Германии, Италии.

Библиография профессора насчитывает более тысячи работ, многие его книги получили мировое признание. Он любил цитировать бельгийского историка-медиевиста Анри Пиренна: «Невозможно быть исследователем одной эпохи – либо ты историк, либо нет». В начале научной деятельности он был поглощен изучением каролингской эпохи и первых крестовых походов, но постепенно занялся историей культуры, как историей общественного сознания, исследовал мифологию славян и христианизацию стран Восточной Европы, интересовался языкознанием, фольклором, иудаикой, явлениями на пограничье культур. Гейштор был «мастером малой научной формы, но не второстепенного характера. […] Она позволяла ему заниматься многими темами, что отвечало обширному кругу его интересов», –  пишет Мария Кочерская. Профессор также вел семинар по истории Второй мировой войны и много писал на эту тему. Он был ответственным редактором (вместе с Р. Пихоей) четырехтомного польско-российского издания документов о Катыньской трагедии («Катынь. Пленники необъявленной войны. Документы и материалы», 1997). На русском языке опубликована его книга «Мифология славян» (2014).

            Александр Гейштор был авторитетом для польского общества, с 1950 по 1980 год неоднократно выступал против цензуры и притеснений. Он подписал «Письмо тридцати четырех» (1964), однако впоследствии был вынужден поставить подпись под так называемым «покаянием» – «Письмом десяти». В 1980 стал одним из подписантов «Обращения шестидесяти четырех интеллектуалов», призывавшего власть и оппозицию к переговорам и компромиссу. 5 апреля 1989 года во Дворце Радзивиллов Гейштор был председателем последнего заседания «круглого стола» представителей власти ПНР и оппозиционной «Солидарности», во время которого участники достигли соглашения о мирной трансформации общественно-политического строя Польши.

            В 2016 году в Варшавском университете в рамках празднования столетия со дня рождения Александра Гейштора была открыта выставка, показан документальный фильм о его жизни, представлена книга Марии Кочерской. В Королевском замке состоялась презентация сборника статей профессора под названием «Власть – символы и ритуалы», подготовленного совместно с университетом и Польской академией наук. В юбилейный год были организованы конференции, встречи, симпозиумы.

«Одной из черт его характера, сформировавшихся в семье, во время оккупации, в военное и послевоенное время, было братское отношение: если у тебя чего-то больше, чем у других, нужно поделиться с наиболее нуждающимися. Он сам не раз голодал, страдал от грязи и холода, унижения и лишений. Поэтому он как мог старался помочь, причем по-дружески, спонтанно», – Роберт Яроцкий.

«Быть европейцем не означало для него отказа от польской национальности. Скорее наоборот. Он осознавал важное место своей страны и ее роль, как ответственного партнера в семье европейских стран, партнера без комплексов, бессмысленного копирования, некритичного подражания», – написал о Гейшторе проф. Анджей Вычанский («Александр Гейштор в мире науки и в обществе», 1999).